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数学中最漂亮的定理——对偶原理!把数学的美

来源:数学的实践与认识 【在线投稿】 栏目:综合新闻 时间:2021-03-01
作者:网站采编
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摘要:越是基本的数学定理,越是美妙,我们来看一个数学中非常漂亮的定理,美妙到都难以找到第二个来相媲美——对偶原理。 对偶原理最先出现在射影几何当中,平面几何描述为: 在射

越是基本的数学定理,越是美妙,我们来看一个数学中非常漂亮的定理,美妙到都难以找到第二个来相媲美——对偶原理。

对偶原理最先出现在射影几何当中,平面几何描述为:

在射影平面中,把一个定理的“点”和“直线”对互换,然后其相对应的性质也替换后,得到的命题依然成立。

该定理的证明极不容易,说到发现过程,我们要追溯到300年前的1640年,16岁的法国数学家帕斯卡(1623~1662),发现了著名的“六边形定理”。

Pascal六边形定理:如果一个六边形内接于一条圆锥曲线,则该六边形的三对对边的交点共线。

然后到了1806年的,法国一位大学生布列安桑,得到了另外一个著名的“六边形定理”。

Brianchon六边形定理:如果一个六边形的六条边都和一条圆锥曲线相切,则该六边形的三对顶点的连线相交于一点。

在这之前,数学家已经开始注意到,几何当中“点线面“之间的神秘联系,Pascal定理和Brianchon定理之间的美妙对称,让数学家坚信了这之间,肯定存在不为人知的奥秘,并试图证明“对偶原理”。

对偶原理的特殊性,注定了无法从几何上得到一般性证明,直到进入二十世纪后,数学公理化的建立,才推动了该原理的逻辑证明。

在使用对偶定理前,我们必须有个约定:平面中的直线相交于无穷远,三维中的平行面共线于无穷远……。

这纯粹是一个数学处理技巧,好比在代数中,我们约定无穷大不是数一样。

如果没有这个约定,那么对偶原理将存在众多例外;一旦有了这个约定,对偶原理将没有例外地上升到三维,四维,甚至更高的n维几何中成立。

然后我们就可以,随心所欲地操控对偶原理了!

比如:

1、平面内,过两点只能做一条直线;

对偶原理:两条线只能交于一点;

2、平面内,不相交的三点,可唯一确定过这三点的圆;

对偶原理:不共线的三条线,可唯一确定相切于这三条直线的圆;

在射影几何中,很多难以证明的定理,经过对偶转换后,反而更容易得到证明。

而且对偶原理包含的思想,远不止于数学当中:

1、电磁学中,磁场和电场在某些条件下,也有这样的对偶性;

2、在电路分析中,并联和串联、电容与电抗、电流和电压,也满足类似的对偶变换;

3、在逻辑学中,“+“和”-“、“1”和“0”满足这样的对偶变换;

……

甚至,几乎在任何领域,都能找到类似对偶定理的影子,或许这正是一种对称性的体现,而对称性普遍存在于我们的宇宙当中。

在数学中,对偶原理把真理的对称性,以非常美妙的形式体现了出来,这也推动着数学各个分支的发展。

文章来源:《数学的实践与认识》 网址: http://www.sxdsjyrs.cn/zonghexinwen/2021/0301/417.html



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