物理学的终极问题，正等待数学来回答(3)

“一个粒子可以有无穷多个位置，这就必然要求描述位置和动量测量的矩阵也必须是无穷维的。”约克大学的卡西亚·雷兹纳（Kasia Rejzner）说。

当理论中出现无穷时，问题就来了：它与物理上的相关性作何解释？因为无穷是作为一种概念而存在，而不是任何实验可以测量的物理量。这也使其理论难以用数学方法来处理。

“我们并不喜欢一个描述无穷的理论框架。这就是为什么你开始意识到需要对此有更好的数学理解。”阿姆斯特丹大学的物理学家亚历杭德拉·卡斯特罗（Alejandra Castro）说道。

当物理学家开始思考两个量子场如何相互作用时，无穷大的问题变得更糟了。例如，在日内瓦郊外的大型强子对撞机上模拟粒子碰撞。在经典力学中，这类计算很容易：要模拟两个台球碰撞时会发生什么，只需指定每个球在碰撞点的动量即可。

现在换成两个量子场相互作用，你也会想做类似的事情：在它们相遇的时空点上，将一个场的无限维算符乘以另一个场的无限维算符。显然，这种计算——将两个无限维的对象在它们靠的无穷近时相乘——是很困难的。

“这就是发生严重错误的地方。”雷兹纳说。

了不起的成功

物理学家和数学家不能使用无穷大进行计算，但是他们已经发展了一些变通的应对之措——用近似的方法来回避这个问题。物理学家用近似的方法做出了一些预测，结果显示和实验非常吻合，毕竟实验也不是无限精确的。

“我们的实验测量可以精确到小数点后13位，理论近似的结果与实验测量惊人的一致。这是所有科学中最令人惊讶的事情。”汤说。

其中一种方法，是想象有一个无相互作用的量子场，即“自由”理论——不必担心有无穷维矩阵相乘的问题。因为这种情况下既没有运动，也没有碰撞，很容易用完整的数学细节来描述，只是这种描述没有太大价值。

雷兹纳认为，“这确实没什么意思，因为它描述的是一个孤立的场，没有任何互动。所以它仅仅是学术上的尝试。”

不过，你可以让它更有趣一些。物理学家在里面加入了一点相互作用，且试图用数学方法来控制相互作用的强弱，从而使理论适应不同的情况。

这种方法被称为微扰量子场论，表示在自由场中允许有微小的变化或扰动。你可以将微扰思想应用于类似自由理论的量子场论里，它对于验证实验也非常有用。“你会得到惊人的精确度，惊人的实验一致性。”雷兹纳说。

但如果相互作用不断增强，微扰的方法最终会失效。相互作用逐渐变大时，微扰论的结果变得越来越不精确，也就离真实的物理越来越远。这表明，虽然微扰论的方法对实验有一定指导意义，但它终究不能完全正确地描述整个宇宙——它在实际中有用，但在理论上是不坚实的。

“我们还不知道如何把所有的情况都考虑进来，也不知道怎么才能得出合理的结论。”盖奥托谈道。

我们一直将量子场论作为一种外部刺激，但如果它是一种内在刺激就好了。

——丹·弗里德，德克萨斯大学奥斯汀分校教授

另一种近似方案试图通过其他方式，渐渐靠近真实世界的量子场理论。理论上，量子场包含无穷精细的信息。为了构建这样的场，物理学家从网格或晶格出发，并将场定义在晶格线及彼此交叉的地方（费米子定义在格点上，规范场定义在链接上）。最初你只能在分立的格点上进行测量，而不能随意对量子场做连续的测量。

此后，物理学家不断提高格子的精细程度，使其精细程度的上限不断提高。随着格子变得越来越细密，可测量点的数目不断增加，越来越接近一个可以到处测量的场的理想概念。

“当点之间的距离变得非常小，这样就非常接近一个连续的场。”塞伯格说。用数学上的专业术语来说，他们所说的连续量子场其实是精细晶格的极限。

数学家们擅长处理极限，并且知道如何确定某些极限是否存在。例如，他们已经证明了无穷数列1/2+1/4+1/8+1/16…的极限是1。物理学家想要证明量子场是这种晶格过程的极限，只是目前他们还不知道该怎么做。

文章来源：《数学的实践与认识》 网址: http://www.sxdsjyrs.cn/zonghexinwen/2021/0701/652.html