物理学的终极问题，正等待数学来回答(4)

摩尔表示，“目前我们还不清楚如何计算这个极限，以及它在数学上意味着什么。”

物理学家并不怀疑不断精细的格点正朝着理想化量子场的概念发展。量子场论的预测和实验结果之间的高度吻合有力地说明了这一点。

赛博格说，“毫无疑问，这些极限是确实存在的，因为量子场论已经取得了极大的成功。”但是，有强有力的证据暗示某事是正确的，和最终证明它是正确的，完全是两码事。

量子场论渴望取代其他伟大的物理理论，而这种不精确正在拖量子场论的后腿。牛顿的运动定律、量子力学、爱因斯坦的狭义相对论和广义相对论——它们都只是量子场论想要讲述的更伟大故事的一部分。但与量子场论不同的是，它们都可以用精确的数学语言写下来。

“量子场论是作为一种描述所有物理现象的通用语言而出现的，但它在数学上却没有完善的定义。”戴克格拉夫谈道。对一些物理学家来说，这就是暂停脚步的原因。

戴克格拉夫说，“如果整个理论都依赖于某个核心概念，而这个概念本身并不能用数学的方式来理解，那你怎么能如此确信它能描述整个世界？这使整个问题更加尖锐。”

外部推动

即使在这种不完整的状态下，量子场论也促成了许多重要的数学发现。两者的交互通常是这种模式：物理学家使用量子场论进行计算时，偶然发现了令人惊讶的结果，然后数学家试图对其进行解释。

“这（量子场论）就是一台创意机器。”汤说。

在一个基本层面上，物理现象与几何有着密切的关系。举个简单的例子，如果你让一个小球在一个光滑的表面上运动，它的轨迹就是沿着任意两点之间的最短路径，也就是所谓的测地线。用这种方式，物理现象可以探测出一个形状的几何特征。

现在，我们把小球换成一个电子。电子以概率的形式可以存在于表面上任意一点。通过研究那些概率所对应的量子场，你可以了解这块表面的总体性质（数学家称之为流形），比如它有多少个洞。这是研究几何学和相关拓扑学领域的数学家想要回答的一个基本问题。

“即便一个粒子即使呆在原地不动，我们也会知道流形的拓扑结构。”汤说。

上世纪70年代后期，物理学家和数学家开始应用这种观点来解决几何中的基本问题。到90年代初，塞伯格和他的合作者爱德华·威滕（Edward Witten）提出了如何用这种思想来创造一种新的数学工具——Seiberg-Witten不变量——将量子现象转化为一个指数，其反映了形状的纯数学特征: 通过计算量子粒子以某种方式出现的次数，你就能有效地计算出一个形状中洞的数量。

“威滕表明了量子场论能给几何问题提供完全意想不到却又极其精确的洞见，使棘手的问题变得可解。”牛津大学的数学家雷姆·西格尔（Graeme Segal）表示。

另一个数学与物理相互融通的例子也发生在20世纪90年代初，当时物理学家正在进行与弦理论有关的计算。他们根据完全不同的数学规则在两个不同的几何空间中进行运算，结果总是得出一长串却彼此完全匹配的数字。数学家们从这个线索出发，仔细研究后发展出一个全新的研究领域——镜像对称。数学家研究出它们为何如此吻合，还发现了许多类似的现象。

“物理学会提出这些惊人的预测，数学家则会尝试用自己的方法来证明它们。”本-兹维说，“这些预测既奇怪又奇妙，可是结果证明，它们几乎总是正确的。”

尽管量子场论成功地为数学创造了可寻的线索，但其核心思想仍然几乎完全存在于数学之外。与多项式、群、流形等其他起源于物理学并且如今已被熟练应用的方法相比，量子场论仍然没有被数学家们理解得足够好。

对物理学家来说，这种与数学的疏远关系表明，对于量子场论，还有很多东西需要深入理解。塞伯格说：“过去的几个世纪里，物理学中使用的所有其他数学思想都在数学中都有其天然的地位。但量子场论除外。”

我想说，物理学家不一定洞悉一切，但物理学可以。

——大卫·本-兹维，德克萨斯大学奥斯汀分校教授

文章来源：《数学的实践与认识》 网址: http://www.sxdsjyrs.cn/zonghexinwen/2021/0701/652.html