物理学的终极问题，正等待数学来回答(5)

而对于数学家来说，似乎量子场论和数学之间的关系应该比偶尔的互动更为深刻。这是因为量子场论包含了许多对称或基本结构，这些结构决定了场中不同部分的点如何相互关联。这些对称性具有物理意义——它们体现了诸如能量等守恒量是如何随着量子场的演化仍保持守恒的。另一方面，在数学上它们本身也是很有趣的研究对象。

卡斯特罗表示，“数学家可能关心某种对称性，我们可以把它放在物理背景中。如此一来，两个领域之间就搭起了一座美丽的桥梁。”

从不同类型方程的解到素数分布，数学家几乎对所有问题都使用了对称性和几何学来研究。通常，几何编织出了数字问题的答案。而量子场论为数学家们提供了全新的且丰富多彩的几何对象——如果数学家能直接运用它，也许他们能做的超乎想象。

“从某种角度上来说，我们只是在摆弄量子场论。”德克萨斯大学奥斯汀分校的数学家丹·弗里德（Dan Freed）说，“我们一直将量子场论作为一种外部刺激，但如果它是一种内在刺激就好了。”

为量子场论铺路

数学不会轻易接纳新的对象。许多基本概念都是经过了长时间的检验，才在数学领域中找到了正确且严格规范的位置。

比如实数——表示数轴上无穷多个刻度的全部。这一概念在数学上实际使用了近2000年，数学家才在定义它的方式上达成一致。终于在19世纪50年代，数学家们确定了一个精确的陈述，只用三个词语表达，即“完备、有序、域（complete ordered field）”。它们是完备的，因为实数没有任何间隙；它们是有序的，因为总有一种方法来确定一个实数是否大于或小于另一个实数；它们形成了一个“域”，这对数学家来说意味着它们遵循算术规则。“从历史上看，这三个词来之不易。”弗里德说。

为了使量子场论变成内在刺激——成为一种数学家可以为自己研究所使用的工具——数学家想对量子场论进行与他们对实数相同的处理：找出一个清晰的特征列表，任何特定的量子场论都需要满足里面的要求。

爱尔兰数学家凯文·科斯特洛

加拿大圆周研究所的数学家凯文·科斯特洛（Kevin Costello）做了大量关于将量子场论转化到数学上的工作。2016年，他与人合著了一本教科书（Factorization Algebras in Quantum Field Theory: Volume 1），他们将微扰量子场论建立在坚实的数学基础上，包括如何形式化地处理随着相互作用增加而出现的无穷量。这是继早期2000年代的代数量子场论后的又一尝试，代数量子场论也寻求类似的目标，雷兹纳在他也是于2016年出版的书（Perturbative Algebraic Quantum Field Theory）中回顾了这项研究。虽然现在的微扰量子场论仍然不能真正描述宇宙，但数学家们知道如何处理它产生的物理上无意义的无穷大。

摩尔表示，“科斯特洛的贡献是非常巧妙和有见地的。他把（微扰）理论置于一个适用于严格数学的漂亮的新框架中。”

科斯特洛解释说，他写这本书的目的是想让微扰量子场论更加连贯。“我发现有些物理学家使用的方法是不可论证的，而且只针对特定的情形。我想要使其理论更自洽，让数学家可以更好地研究它。”

通过准确地说明微扰理论的工作原理，科斯特洛创造了一个基础理论框架。在此基础上，物理学家和数学家可以构建满足要求的新量子场论。这个理论很快就被该领域学者所接受。

“一定会有许多年轻人尝试这个框架。他的书已经产生了极大的影响。”弗里德说。

科斯特洛也一直致力于定义什么是量子场论。在简化形式下，量子场论需要一个几何空间，在这个空间中你可以对每一点进行观测，并结合关联函数来描述不同点间的观测量如何相互关联。科斯特洛的工作描述了一组关联函数需要具备的性质，以便为量子场论提供一个可行的基础。

我们最熟悉的量子场论，比如标准模型，可能包含了一些不是所有量子场论都具备的额外特征。没有这些特征的量子场论可能描述了其他尚未被发现的特性，而这些特性可以帮助物理学家解释标准模型无法解释的物理现象。如果你对量子场论的想法只停留在我们已知的版本，你甚至很难想象其他必要的可能性。

文章来源：《数学的实践与认识》 网址: http://www.sxdsjyrs.cn/zonghexinwen/2021/0701/652.html